Difference between revisions of "Associative property of addition"

From Conservapedia
Jump to: navigation, search
(copied the associative property of multiplication article and change words, values appropriately)
 
Line 1: Line 1:
Basic [[addition]] is a ''pairwise'' [[operation (mathematics)|operation]].  To add more than two [[number]]s, you must combine them in pairs successively until all the numbers have been used.  For example, to add <math>X = 3 + 4 + 5</math> you first pick two consecutive numbers, say 3 and 4, and add them: <math>X = 7 + 5</math>.  Now there are just two numbers remaining, which you can add to get the final answer: <math>X = 12</math>. 
+
/b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/
 
+
The '''associative property of addition''' is the fact that the answer does not depend on how the pairings are done. For example, we could have started with <math>4 + 5 = 9</math>, and then done <math>X = 3 + 9 = 12</math>.  We use parentheses to indicate the order of addition used.  For example, writing <math>(3 + 4)+ 5</math> means that you first add <math>3 + 4</math> then add the result by 5.  The associative property is expressed by the formula <math>(3+ 4) + 5 = 3 +(4 + 5)</math>. 
+
 
+
With more than three numbers, there can be many ways to do the addition.  For example, with 4 numbers one of the ways is <math>2 + 3 + 4 + 5 = ((2 + 3) + 4 )+ 5 = (5 + 4 )+ 5 = 9+ 5 = 14</math>. 
+
 
+
The [[associative property]] of addition is different from the [[commutative property]].  For example, addition of matrices has the associative property but is not commutative.  If <math>A</math>, <math>B</math>, and <math>C</math> are three matrices, then <math>A+(B + C)=(A+ B) + C </math> but <math>A+ B \neq B + A </math>.
+
[[category:algebra]]
+

Revision as of 05:29, June 30, 2010

/b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/ /b/