Difference between revisions of "Absolute value"

Latest revision as of 23:05, March 1, 2021

Absolute value is a function measuring a number's distance from zero. The absolute value of $x$ is written $|x|$ .

If $x$ is a positive number, then $|x|=x$ .
If $x$ is a negative number, then $|x|=-x$ .
If $x=0$ then $|x|=0$ .

For example, $|-3|=3$ , and $|5|=5$ . Notice that $|x|$ is never negative.

Absolute value has several useful properties. One is the multiplicative property. If $x$ and $y$ are two numbers, then $|xy|=|x|\times |y|$ . Another is the triangle inequality, which is the fact that $|x+y|\leq |x|+|y|$ . For example, if $x=3$ and $y=-5$ , then $|x+y|=|3+(-5)|=|3-5|=|-2|=2$ , while $|x|+|y|=|-5|+|3|=5+3=8$ . In this case, the triangle inequality is the fact that 2 is not more than 8.

If $x$ is a real number, then ${\sqrt {x^{2}}}=|x|$ . The absolute value is necessary because the principal square root is, by definition, nonnegative.

Complex numbers also have an absolute value (sometimes called the modulus). If $z=x+iy$ is a complex number with real part $x$ and imaginary part $y$ , then $|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ . If we represent $z$ as a point in the complex plane with coordinates $(x,y)$ , then $|z|$ is the distance from this point to the origin. The absolute value of complex numbers also has the multiplicative property and satisfies the triangle inequality.

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-<pre>                                                                             7MM?
+'''Absolute value''' is a [[function]] measuring a number's distance from zero.  The absolute value of <math>x</math> is written <math>|x|</math>.
-                                                                          MMMMM7MM
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-      M   NM             MMM                                      MM         M             MM
-                 MM MMM                                   MM         M              MMMMMM
-       M               MM    MMM                                :MM         M             MMMMI7M
-       M                 M    MMM                               MM         +             MMM   MM
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-        M       MMM                       MMM                                      M      ZMM   MMM
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-      MM                               M MM                                                   MM
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-    MM  M                            ?M$                                                     MM
-   NM~ M                             MI                                                     MMM
-   MM MM                            M                                             M        MMM
-   MMMM            M              M                                                MM    MMMM
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-     MM     ,MMMMM                                                         M     MMZ   DMMO
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-      MM                                    M   OMMM8  M    MM MMMMMMN                   +M
-M                                     MMMMM,      MMMMMMMM7                       MM
-       M                                                  MM~                            MM
-        M                                                                               MMN
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-         MM                                                                           +MM~
-MM                                                                         MMM$
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-               MN                                                              MMMMMN
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-                                                                      NM=
-</pre>
-The '''absolute value''' of a number is a measure of the size of that number.  The absolute value of <math>x</math> is written <math>|x|</math>.
-:If <math>x</math> is a positive number, then <math>|x| = x</math>.
+*If <math>x</math> is a positive number, then <math>|x| = x</math>.
+*If <math>x</math> is a negative number, then <math>|x| = -x</math>.
+*If <math>x=0</math> then <math>|x| = 0</math>.
-:If <math>x</math> is a negative number, then <math>|x| = x</math>.
+For example, <math>|-3| = 3</math>, and <math>|5| = 5</math>.  Notice that <math>|x|</math> is never negative.
-:If <math>x=0</math> then <math>|x| = 0</math>.
+Absolute value has several useful properties.  One is the ''multiplicative'' property.  If <math>x</math> and <math>y</math> are two numbers, then <math>|xy| = |x| \times |y|</math>.  Another is the ''triangle inequality'', which is the fact that <math>|x+y| \leq |x| + |y|</math>.  For example, if <math>x = 3</math> and <math>y = -5</math>, then <math>|x+y| = |3 + (-5)| = |3 - 5| = |-2| = 2</math>, while <math>|x| + |y| = |-5| + |3| = 5 + 3 = 8</math>.  In this case, the triangle inequality is the fact that 2 is not more than 8.
-Absolute value has several useful properties.  One is the ''multiplicative'' property.  If <math>x</math> and <math>y</math> are two numbers, then <math>|xy| = |x| \times |y|</math>.  Another is the ''triangle inequality'', which is the fact that <math>|x+y| \leq |x| + |y|</math>.  For example, if <math>x = 3</math> and <math>y = -5</math>, then <math>|x+y| = |3 + (-5)| = |3 - 5| = |-2| = 2</math>, while <math>|x| + |y| = |-5| + |3| = 5 + 3 = 8</math>.  In this case, the triangle inequality is the fact that 2 is not more than 8.
+If <math>x</math> is a [[real number]], then <math>\sqrt{x^2} = |x|</math>.  The absolute value is necessary because the principal [[square root]] is, by definition, nonnegative.
-[[Complex number]]s also have an absolute value.  If <math>z = x+iy</math> is a complex number with real part <math>x</math> and imaginary part <math>y</math>, then <math>|z| = \sqrt{x^2 + y^2}</math>.  If we represent <math>z</math> as a point in the complex plane with coordinates <math>(x,y)</math>, then <math>|z|</math> is the distance from this point to the origin.  The absolute value of complex numbers also has the multiplicative property and satisfies the triangle inequality.
+[[Complex number]]s also have an absolute value (sometimes called the modulus).  If <math>z = x+iy</math> is a complex number with real part <math>x</math> and imaginary part <math>y</math>, then <math>|z| = \sqrt{x^2 + y^2}</math>.  If we represent <math>z</math> as a point in the complex plane with coordinates <math>(x,y)</math>, then <math>|z|</math> is the distance from this point to the origin.  The absolute value of complex numbers also has the multiplicative property and satisfies the triangle inequality.
 [[Category:Algebra Terms]]
-[[Category:Algebra]]
-[[Category:Mathematics]]